1.) REGLA DE LA ADICIÓN DE PROBABILIDADES: Esta regla expresa la
probabilidad de que ocurran dos o más sucesos a lavez. Puede presentarse de dos formas:
a) REGLA GENERAL PARA EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos
intersecantes), es decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez (al
mismo tiempo), entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha
probabilidad:
En donde:
El conectivo lógico "o" corresponde a la "unión"
en la teoría de conjuntos (o
=)
El conectivo "y" corresponde a la "intersección"
en la teoría de conjuntos (y =)
El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en
la teoría de conjuntos
b) REGLA PARTICULAR O ESPECIAL PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:
si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes ( eventos no intersecantes) , es decir si la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la del otro , no pueden ocurrir a la vez , o cuando no tienen un punto muestral en común (A U B= 0) entonces , se aplica la siguiente regla para aplicar dicha probabilidad.
En donde:
El conectivo lógico "o" corresponde a la "unión"
en la teoría de conjuntos (o =)
El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de
conjuntos
Ejemplos: si muestras se toma " sin reemplazo de modo que el primer articulo no se regresa antes de seleccionar el segundo ., entonces.
P (A ∩ B ) = P (B/A)
98 + 97
= 9.602
100
99
Se observa que son dependientes.
2) REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES
a) REGLA GENERAL PARA EVENTOS DEPENDIENTES
Si A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la ocurrencia de A
afecta la probabilidad de ocurrencia de B, entonces, dicha probabilidad de
calcula empleando la siguiente regla:
Nota:
La probabilidad del evento B, calculada bajo la suposición de que el
evento A ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de B, dado A,
y se denota por P (B/A).
b) REGLA PARTICULAR O ESPECIAL PARA EVENTOS INDEPENDIENTES
Si A y B son dos eventos independientes, es decir, si el conocimiento de
la incidencia de uno de ellos no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia
del otro, entonces, para calcular la probabilidad de dichos eventos se aplica
la siguiente regla:
Se selecciona una muestra aleatoria N=2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en un buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer articulo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo articulo con reemplazo.
a). Calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado, b) Si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado.
a)= El primer articulo esta en buen estado
b)= el segundo articulo esta en buen estado
P (A ∩ B) = P(A) * P(B)
98 * 98 9.604
100
100
3). PROBABILIDAD COMPUESTA es la probabilidad por dos elementos simples relacionados entre si en la composición existen dos posibilidades:
unión de Ay B:
Unión de A y B:
si A y B son eventos en un espacio muestral (s) la unión de A y B( A U B) contienen todos los lementos de el evento A o B o ambas.
Intersección de Ay B:
Si Ay B son eventos en un espacio muestral S, A y B son eventos (A ∩ B) , esta compuesta por todos los elementos que se encuentran en Ay B
Intersección
Relaciones entre eventos
existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento: complementarios, condicionales y mutuamente excluyentes
1) eventos complementarios: el complemento de un evento A son todos los elementos en un expuesto espacio muestral (s) que no se encuentran en A. el complemento de A es : A= 1 - P (A)
Ejemplo: en un evento A (dia nublado ), P(A) =3 , la probabilidad de tener un dia despejado sera :
1 - P(A)=7
2. Probabilidad Condicional: para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el evento B. la probabilidad condicionada de un evento A dado que ha ocurrido el evento A dado que ha ocurrido el evento B es
P (A/B) = P (A ∩ B ) = 0.2 = 0.67
P(B)
0.3
Ejemplo: Si el evento A lluvia y B ( nublado) = 0.2 y el evento B ( nublado ) = 0.3 , cual es la probabilidad de que llueva en un dia nublado?
P (A/B) = P (A ∩ B ) = 0.2 = 0.67
P(B) 0.3
3. Eventos mutuamente excluyentes; cuando un evento A no contienen elementos en común con un evento B, se dice que estos son mutuamente excluyentes
Ejemplo: al lanzar un dado a) cual es la probabilidad de que salga 2 o 3 B. Calcule P (A/B)
a): P (A U B) = 1 + 1
= 1 = 0.33
6
6 3
b) P (A ∩ B ) = 0 , y a que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la intersección no existe , es imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.
4. PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean
A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.
La
probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de B, denotada como P(A/B) :
P(A/B) = P(AÇB)
P(B)
Propiedades:
1. P(A/B) ³ 0
2. P(W /B)
= 1
3. P(ÈAi/B) = S P(Ai/B) con AiÇ Aj
= Æ , " i,
j : i¹j
Centra
el foco de atención en el hecho que se
sabe que han ocurrido el evento B
Estamos
indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido”sólo a aquellos resultados que
definen la ocurrencia del evento B
Entonces,
P(A | B) “mide” la probabilidad relativa de A con
respecto al espacio reducido B
Un
diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los
posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la
probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del
espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama
de árbol.
1 1. En un salón de
clases de transición hay en total hay 12 niños y 8 niñas. Se va a empezar un
campeonato de fútbol mixto en el jardín. Hallar la probabilidad de que:
§Se inscriban 2 niños
§Se inscriban 2 niños y un 1 niña
§Se inscriban
3 niños.
§Se
inscriban 2 niños
P=
12 . 11
= 132 = 0,3473684211
= 34%
20
19 380
§Se
inscriban 2 niños y 1 niña
P = 12
. 11 . 8_ = 1,056 =
0,1543859649 = 15%
20 19
18 6,840
§Se inscriban 3 niñas
P = __8_. 7__.
_6_ = 336
= 0,049122807 = 4,9 %
20 19 18
6,840
1 2. En un almacén de ropa deportiva se
venden camisetas del equipo del Real Madrid y camisetas del equipo del
Barcelona. Se tiene como stop 10 camisetas del Real Madrid y 15 camisetas del Barcelona.
¿Cuál
es la probabilidad de que se vendan 2 camisetas del Real Madrid?
¿Cuál
es la probabilidad de que se vendan 2 camisetas del Barcelona?
§Que
se vendan 2 camisetas del Real Madrid
P
= 10 . 9 = 90 =
0.15 = 15%
25
24 600
§Que
se vendan 2 camisetas del Barcelona
P
= 15. 14
= 210 = 0.35
= 35%
25
24 600
3. En
una tintorería se ordenaron teñir 30 prendas del mismo color, de las cuales 12
prendas son de dama (camisas) y 18 prendas para caballero (pantalones). Cuál es
la probabilidad de:
De
que se tiñan primero dos camisas de dama
De
que se tiña primero una camisa y un pantalón
De
que se tiñan primero dos pantalones
§Se
tiñan dos camisas de dama
P
= 12 . 11 = 132 = 0.1517241379 = 15%
30
29 870
§Se
tiña una camisa y un pantalón
P = 12 .
18 = 216
= 0.2482758621 = 24%
30
29 870
§Se
tiñan dos pantalones
P
= 18 . 17
= 306 =
0.3517241379 = 35%
30
29 870
4. En u salon de Uniminuto en la clase de estadística hay 30 alumnos 22 mujeres 8 hombres . si se escoje para realizar una exposición a 3 al azar hallar la probabilidad de:
§Seleccionar
3 mujeres
P
= 22 * 21 * 20 = 9240 = 0.3793103448 = 37%
30
29 28
24360
Seleccionar 3 Hombres
P = 8 * 7 * 6 = 336 = 0.1379310345 = 13%
30 29 28 24360
5. Contamos con dos transportadoras T1 y T2 en la T1 hay 4 carros color Azul, 3 rojos y 3 verdes y en la transportadora T2 hay 5 color azul ,2 rojos 3 verdes. Si lanzamos una moneda , si sale cara acudimos a la T1 y si sale sello a la T2. Calcular la probabilidad de:
Definición: El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos.
Explicación: A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.
Formula:
P (Ai)
* P (B/Ai) _______ _
P (A1) P (B/A1) + P (A2) P (B/A2) + P (A3)
P (B/A3)
1.En
la Fundación Cardiovascular el 30% de los empleados son enfermeros
profesionales, y el 20% son auxiliares de enfermería. En el área de
hospitalización trabaja el 45% de los enfermeros profesionales, el 25% los
auxiliares de enfermería y un 15% corresponde al personal no asistencial.
Determine ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador de hospitalización
elegido sea un enfermero profesional?
§§P
= (0.3).
(0.45)
(0.3). (0.45) + (0.2). (0.25) + (0.5)
. (0.15)
P =
_______0.135
0.135 + 0.05 + 0.075
P = _0.135 =
0.5192307692 = 51%
0.26
2. En la Universidad Minuto de Dios el 80%
de sus estudiantes son mujeres. De los hombres el 40 % son mayores de 20 años,
mientras que el 60% de las mujeres son mayores de 20 años. El coordinador de la
universidad selecciona un estudiante al azar.
Determinar
el valor de la probabilidad de que sea el estudiante mayor de 20 años.
Si
el estudiante resulta ser mayor de 2º años. Determinar la probabilidad de que
sea una mujer.
1 3. En una empresa dedicada a la
comercialización de pollo nivel a nivel
nacional. Se comercializa el 40% en la sede de Floridablanca, de los cuales un
4 % salen en mal estado. En la sede de Bucaramanga se comercializa el 60% del
pollo, del cual el 6% correspondiente sale en mal estado.
Determinar
la probabilidad que un pollo sea elegido al azar y en mal estado.
§ P = (0.4) . ( 0.04) + ( 0.6) . (0.06)
P
= 0.016
+ 0.036
P =
0.052
P = 5.2 %
4. Si
tenemos tres empresas para realizar el SG-SST. La primeratiene90 trabajadores, de los cuales hay cuatro de ellos que están incapacitados;
en la segunda empresa hay 60 y tan solo 1 de ellos está incapacitado, y en la
tercera hay 80 trabajadores y tan solo
tres de ellos se encuentran incapacitados. Si escogemos a un trabajador incapacitado, ¿Cuál
es la probabilidad de que sea de la empresa numero 1?
5. En una empresa de fabrica de Jugos; producen 5.000 jugos diarios, la maquina A produce 3.000 de estos jugos, de los que el 2% son defectuosos y la maquina B producen los 2.000 jugos restantes de los que se saben que el 4% son defectuosos. Determinar. a) . La probabilidad de que un jugo elegido al azar salga defectuoso.
P (D) = P(A)* P(D/A)+P(B)*P (D/B)=
3 * 0,
02 + 2 * 0,04 = 7 =
0,028 = 28%
5 5 250
6. En una universidad a distancia el 60% de los estudiantes son de administración en salud Ocupacional y otro 20% son de Psicología, el 75% de los salubristas se van a graduar y el 50% de los psicólogos también , mientras que los demás estudiantes son de licenciatura en pedagogía infantil y solamente el 20 % de ellos se gradúan .¿cual es la probabilidad de que un estudiante graduado elegido al azar sea de la carrera de Administración en Salud Ocupacional.?
